Правила подсчета числа вариантов

Рассмотрим правила, позволяющие при решении комбинаторных задач рассчитать число вариантов события, которое можно представить в виде последовательности событий с известными количествами исходов.

Правила суммы и произведения

Правила суммы и произведения относятся к фундаментальным правилам пересчета.

Правило суммы

Если А и В - события, которые не могут наступить одновременно, и существует n возможных исходов события А и m возможных исходов события В, то возможное число исходов события "A или В" равно сумме n + m.

Задача. Заданы целые положительные числа от 1 до 9 включительно: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько среди них четных или нечетных.

Решение. Ни одно число не может быть одновременно четным и нечетным. Поэтому по правилу суммы определим число четных или нечетных чисел в исходном множестве:
N = 4 + 5 = 9

Правило произведения

Если существует n возможных исходов события А, и, при этом, независимо от исхода события А, существует m возможных исходов события В, то число исходов события "A и В" равно произведению n * m.

Задача. В почтовом отделении имеются 4 различных конверта и 5 разных марок. Сколько существует способов отправить письмо в конверте с маркой?

Решение. Рассмотрим отправку письма в конверте с маркой в виде последовательности двух событий: первое событие - упаковка письма в конверт, второе - наклейка марки на конверт. У первого события 4 возможных варианта, у второго - 5.
Таким образом, письмо можно отправить 4 * 5 = 20 способами.

Принцип включения и исключения.

Рассмотрим принцип включения и исключения для случая двух событий.

Если существует n возможных исходов события А и m возможных исходов события B, причем в k случаях наступает одновременно событие «А и В», число исходов события «А или В» равно m + n - k

В случае большего количества событий принцип включения и исключения формулируется аналогично.

Задача. В классе каждый ученик знает хотя бы один иностранный язык: английский или немецкий. 25 человек знают английский, 10 учащихся — немецкий, а пятеро знают оба языка. Сколько учеников в классе?

Решение. По условию задачи пятеро учащихся знают оба языка. Значит, они вошли и в число тех, кто знает английский, и в число тех, кто знает немецкий язык.
Поэтому, число учащихся в классе:
25 + 10 – 5 = 30

Правило дополнения

Чтобы найти количество элементов некоторой совокупности, удовлетворяющих определенному условию, нужно из общего количества элементов этой совокупности вычесть количество тех ее элементов, которые не удовлетворяют этому условию.

Задача. Сколько можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 нечетных четырехзначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры?

Решение. Количество нечетных четырехзначных чисел:
5 * 6 * 6 * 3 = 540
Количество нечетных четырехзначных чисел, содержащих все разные цифры
4 * 4 *3 * 3 = 144
Количество нечетных четырехзначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры:
540 – 144 = 396.