Выборки элементов с повторениями
Если отобранный элемент после фиксации заданного параметра снова возвращается в исходную совокупность и может вновь оказаться в данной выборке, то это выборка с возвращением или с повторением.
Размещения с повторениями.
Размещениями с повторениями называются упорядоченные выборки, содержащие k элементов из данных n элементов, причем каждый элемент исходной совокупности может участвовать в размещении несколько раз.
Формула для расчета количества размещений с повторениями
Задача. На световой панели в ряд расположены 4 лампочки, каждая из которых может гореть красным, жёлтым или зелёным цветом. Сколько различных сигналов можно передать с помощью панели (все лампочки должны гореть, порядок цветов имеет значение)?
Решение. Сигналы светового табло можно рассматривать как выборки из 3 по 4. Определим комбинаторную схему: поскольку «порядок цветов имеет значение» - это размещения. Заметим, что каждая из лампочек в один и тот же момент времени может гореть одним цветом. Значит, выборка - размещения с повторениями.
Комбинаторная схема «размещения с повторениями» используется в задаче №10 ЕГЭ по информатике (смотрите комбинаторные задачи в ЕГЭ).
Перестановки с повторениями
Пусть в исходную совокупность входит n1 элементов первого типа, n2 - второго типа, …, nk – k-го типа, при этом n1 + n2 + …+ nk = n. Всевозможные упорядоченные выборки, составленные из всех данных n элементов, называются перестановками с повторениями.
Формула для расчета количества cочетаний с повторениями
Задача. На световом табло в один ряд располагаются шесть лампочек. Сколько различных сигналов можно получить, имея две зеленые и четыре красные лампочки? Все лампочки должны гореть.
Решение. Заметим, что все лампочки исходной совокупности должны располагаться на табло (4 + 2 = 6). Так как «все лампочки должны гореть», то сигналы будут отличаться только порядком цветов. Значит, комбинаторная схема – перестановки с повторениями.
Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями называются неупорядоченные выборки, содержащие k элементов из данных n элементов, причем каждый элемент исходной совокупности может участвовать в сочетании несколько раз.
Формула для расчета количества cочетаний с повторениями
Задача. Для составления некоторого кода используются цифры 1, 2, 3. Кодовые слова должны удовлетворять следующим свойствам:
- Длина кодовых слов равна 3;
- Кодовые слова могут содержать одинаковые цифры;
- Кодовые слова, отличающиеся только порядком цифр, считаются одинаковыми.
Сколько вариантов кодовых слов можно составить?
Решение. Поскольку длина кодовых слов равна 3, то выборки из 3 по 3. Определим комбинаторную схему: из пункта 3 следует, что выборка неупорядоченная при этом «Кодовые слова могут содержать одинаковые цифры», значит, выборки – сочетания с повторениями.
Действительно, таких кодовых слов ровно 10:
111
112 113
122 123 133
222 223 233 333