Дополнительные логические операции

Кроме базовых операций существует еще ряд дополнительных логических операций. Рассмотрим отдельные из них, наиболее часто встречающиеся в логических выражениях.

Строгая (разделительная) дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний путем объединения их связкой «либо» называется разделительной (строгой) дизъюнкцией, исключающим ИЛИ.

В отличии от обычной дизъюнкции, разделительная дизъюнкция утверждает, что произойдет только одно из двух событий. Например, пусть есть два высказывания: А – «Число 22 четное», В – «Число 22 нечетное», тогда высказывание А либо В (Формально, F = А ⊕ В): «Число 22 четное либо нечетное». В сложном высказывании утверждается, что число 22 либо только четное, либо только нечетное.

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из двух исходных высказываний является истинным, называется строгой, или разделительной дизъюнкцией.

Логическая операция строгая (разделительная) дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

A	B	F = A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Импликация

Высказывание, образованное из двух высказываний путем объединения их связкой «если…, то…» называется импликацией.

Например, пусть есть два высказывания: А – «На каникулах будет экскурсия», В – «Старшеклассники посетят Третьяковскую галерею», тогда высказывание Если А, то В (Формально, F = А ⇒ В): «Если на каникулах будет экскурсия, то старшеклассники посетят Третьяковскую галерею».

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (посылка) — истинно, а следствие (заключение) — ложно, называется импликацией.

Логическая операция импликация задается следующей таблицей истинности:

A	B	F = A ⇒ B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Эквивалентность

Высказывание, образованное из двух высказываний путем объединения их связкой «…тогда и только тогда, когда…» называется эквивалентностью.

Например, пусть есть два высказывания: А – «Треугольник равнобедренный», В – «Треугольник имеет хотя бы две равные стороны», тогда высказывание А тогда и только тогда, когда В (Формально, F = А ≡ В): «Треугольник равнобедренный, тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы две равные стороны».

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны, называется эквивалентностью.

Логическая операция эквивалентность задается следующей таблицей истинности:

A	B	F = A ≡ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1