Логические операции. Базовые логические операции

Операций конъюнкция, дизъюнкция и инверсия достаточно для того, чтобы с их помощью можно было записать любую произвольную логическую операцию. Поэтому эти операции называют базовыми, основными.

В алгебре логики логическая операция полностью задается таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний, входящих в сложное высказывание.

Введем формальным образом логические операции, соответствующие логическим связкам.

Конъюнкция

Высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «и» называется конъюнкцией.

Например, пусть есть два высказывания: А – «Число 22 четное», В – «Число 22 двузначное», тогда высказывание А и В (формально, F = А ∧ В): «Число 22 четное и двузначное».

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны, называется конъюнкцией.

Логическая операция конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

ABF = A ∨ B
000
010
100
111

Дизъюнкция

Высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «или» называется дизъюнкцией.

Например, пусть есть два высказывания: А – «Колумб был на Ямайке», В – «Колумб был на Гаити», тогда высказывание А или В (Формально, F = А ∨ В): «Колумб был на Ямайке или на Гаити».

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, называется дизъюнкцией.

Логическая операция дизъюнкция задается следующей таблицей истинности:

ABF = A ∧ B
000
011
101
111

Инверсия

Высказывание, образованное путем добавления связки «не» к простому высказыванию, называется инверсией (отрицанием).

В русском языке для образования отрицания может также использоваться связка «неверно, что».

Например, пусть высказывание А – «Число 22 простое», тогда высказывание «не» А (формально, F = ¬ A): «Неверно, что число простое»

Определение. Логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному, называется отрицанием.

Логическая операция инверсия задается следующей таблицей истинности:

AF = ¬ A
01
10