Позиционные системы счисления. Основные определения.

Определение. Система счисления или нумерация — это способ записи (обозначения) чисел.

Определение. Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.

В позиционных системах счисления значения числа образуется путем умножения значения цифр на «веса» соответствующих разрядов и, затем, все полученные произведения складываются. Например,

504710 = 5 • 1000 + 0 • 100 + 4•10 + 7 • 1

D4А516 = D • 4096 + 4 • 256 + A • 16 + 5 • 1

11012 = 1 • 8 + 0 • 4 + 0 • 2 + 1 • 1

Такой способ формирования значения числа получил название аддитивно-мультипликативный.

Базис, алфавит и основание позиционной системы счисления

Определение. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Определение. Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, а значения цифр есть целые неотрицательные числа.

В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так:
…Р-3, Р-2, Р-1, 1, Р, Р2, Р3, …, Рn, …

Определение. Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы счисления. Традиционные системы счисления с основанием Р иначе называют Р-ичными…

В Р-ичных системах размерность алфавита равна основанию системы счисления.

Алфавитом произвольной системы счисления с основанием Р служат числа 0, 1, ... , Р-1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального символа, младшей цифрой всегда является 0.

Основанием Р-ичной системы счисления может быть любое натуральное число, большее единицы. Системой счисления с минимальным основанием является двоичная система.

Максимальную цифру в произвольной Р-ичной системе счисления можно обозначить [Р - 1]

Для однозначного определения позиционной системы счисления, у которой в качестве цифр используются натуральные числа и 0, необходимо и достаточно указать только ее базис: последовательность чисел …, Р0, Р1, …, Рn, … . Остальные компоненты системы являются производными от базиса.

Последовательность чисел может являться базисом позиционной системы счисления только тогда, когда в соответствующей этому базису системе может быть представлено любое число (если система предназначена только для нумерации целых чисел, то любое целое число).

Договоренности о формах записи цифр

В качестве цифр систем счисления могут быть использованы любые символы.

В математике придерживаются следующих договоренностей в отношении вида используемых, цифр:

  • Если основание системы счисления Р < 10, то для символьного представления цифр в ней, как правило используют первые Р десятичных цифр (от 0 до Р - 1).
  • Для 10 < Р < 37 в качестве первых десяти цифр обычно используют их десятичное представление, а для остальных цифр — буквы латинского алфавита.
  • Для систем счисления с основаниями, большими 36, единых правил для формы записи цифр не существует.

При подготовке урока использовался материал из учебного пособия Е. В. Андреевой, Л. Л. Босовой, И. Н. Фалиной «Математические основы инфоматики»